知识点总结(需要背下来)

计算一个点的电势就是

$$\int_P^{+\infty}Edl$$
计算出来是正的电势就为正，是负的电势就为负

电容器

孤立导体球
$$C=4\pi \varepsilon_0R$$

平行板电容器
$$C=\frac{\varepsilon_0 S}{d}$$

同心导体球壳
$$C=\frac{4\pi \varepsilon_0R_aR_b}{R_b-R_a}$$

同轴圆柱形导体壳
$$C=\frac{2\pi \varepsilon_0 l}{ln(\frac{R_b}{R_a})}$$
注意习题3.5中球壳加一个球，可以把球和内球壳当成一个导体球壳电容器再加上把外球壳看出孤立导体球电容器的电容

电容器串并联

串联
$$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+…\frac{1}{C_N}$$
并联
$$C=C_1+C_2+…+C_N$$

通过静电能求静电力

当$Q$不变时（未接电源或接地）
$$F=-(\frac{\partial W}{\partial x}){Q}$$
当$V$不变时（接电源或接地）
$$F=(\frac{\partial W}{\partial x}){V}$$

计算不同情况下抽出介质板所做功

当$Q$不变时（未接电源或接地）
$$A=-\int Fdx=\int(\frac{\partial W}{\partial x}){Q}=-\int\frac{Q^2}{2C^2}\frac{dC}{dx}dx=-\frac{Q^2}{2}\int{C_0}^{C}\frac{dC}{C^2}$$
$$A=\frac{Q^2}{2C}-\frac{Q^2}{2C_0}$$
即做功为末态能量减初态能量

当$V$不变时（接电源或接地）
$$A=-\int Fdx=-\int(\frac{\partial W}{\partial x}){V}=-\int\frac{V^2}{2}\frac{dC}{dx}dx=-\frac{V^2}{2}\int{C_0}^{C}dC$$
$$A=\frac{C_0V^2}{2}-\frac{CV^2}{2}$$
即做功为初态能量减末态能量
习题3.13

电像法

电偶极子在外场中的静电能

$$W=-\vec{p}\cdot\vec{E}=-pEcos\theta$$

电偶极子在外场中的力矩

$$L_{\theta}=\vec{p}\times{E}=-pEsin\theta$$

利用磁矩求力矩

$$\vec{L}=\vec{m} \times \vec{B}$$

利用磁矩求力

$$\vec{F}=(\vec{m} \cdot \nabla) \vec{B}$$

利用磁矩求磁场

在球坐标系下磁矩为$\vec{\mu}=\mu \hat{e_z}$所产生的磁场为
$$\vec{B}=\frac{\mu_0\mu cos\theta}{2\pi r^3}\hat{e_r}+\frac{\mu \mu_0 sin\theta}{4\pi r^3}\hat{e_{\theta}}$$

动生电电动势中的欧姆定律

$$\rho j=E+K$$
$$IR=V_{ab}+\varepsilon_{ab}$$

磁路定理

$$NI_0=\Phi_B(R_{m1}+R_{m2})$$
$$R_{m1}=\frac{l}{\mu s};R_{m2}=\frac{d}{\mu_0 s}$$

载流线圈在外磁场中的磁能

$$W=\vec{m}\cdot \vec{B}$$

无源小圆环（带电粒子在磁场中形成的磁矩）在外磁场中的磁能

$$W=-\vec{m}\cdot \vec{B}$$

通过磁能求磁力

当$Q$不变时（未接电源或接地）
$$F_x=(\frac{\partial W}{\partial x}){I}$$
当$V$不变时（接电源或接地）
$$F=-(\frac{\partial W}{\partial x}){\Phi}$$

矢量计算（有点问题）

$$\nabla(\vec{a}\cdot \vec{b})=(\vec{a}\cdot \nabla)\vec{b}+\vec{a}\times(\nabla \times \vec{b})$$
$$\nabla \times (\nabla\times \vec{a})=\nabla(\nabla \cdot \vec{a})-\nabla^2\vec{a}$$

有关$r$的Laplace算子(注意$r$是标量$\vec{r}$是矢量)

$$\nabla r=\frac{\vec{r}}{r}=\hat{e}_r$$
$$\nabla\cdot \vec{r}=3$$
$$\nabla\times \vec{r}=0$$
$$\nabla f(r)=\frac{df(r)}{dr}\nabla r$$

Laplace算子运算法则

$$\nabla (uv)=v\nabla u+u\nabla v$$
$$\nabla(\vec{A}\cdot \vec{B})=\vec{A}\times(\nabla \times \vec{B})+(\vec{A}\cdot \nabla)\vec{B}+\vec{B}\times(\nabla\times \vec{A})+(\vec{B}\cdot \nabla) \vec{A}$$
$$\nabla \cdot(u\vec{A})=\nabla u\cdot \vec{A}+u\nabla \cdot\vec{A}$$