群论学习笔记一

无论是任何一本群论教材，那么在开头都会向我们介绍什么是“群”。其实也就是告诉我们群的以下这四个性质。

1.封闭性 对于群中任意两个元素a和b，那么ab也属于这个群。我们把群中的元素当成某种操作来理解，如果操作a和操作b都是属于群G之中的，那么他们的乘积就代表运用两种操作。举个例子，a是指把物体顺时针旋转180°，而b代表对物体不操作。那么ab的意思就是对物体先顺时针旋转180°再不动。这样的操作就等于a。那么ab也属于群G。这就是群的封闭性。

2.结合律 对于群G中的任意三种元素都有：

$$(ab)c=a(bc)$$

同样你可以把元素当成操作去理解。这里c可以理解为对物体逆时针旋转180°，那么（ab）c就变成了c同样a（bc）也变成了c，故二者相等。（侧面也证实了封闭性）

3.有唯一单位元素 那么对于一个群一定存在一个单位元素e，这个元素满足：

$$ea=ae=a$$

也就是它就和1一样，乘以任何操作都是等于对应的操作。

4.有逆元素 有了单位元素那一定存在一个逆元素满足：

$$aa^{-1}=a^{-1}a=e$$