量子力学知识点总结（by：王天才）

• 数学部分

• 非数学部分

数学部分：

两个超越方程所要遇到的函数图像

红色为$\tan x$蓝色为$-\cot x$

一些三角函数的积分

$$\int_0^asin\frac{\pi x}{a}cos\frac{\pi x}{a}dx=0$$
$$\int_0^asin\frac{\pi x}{a}cos\frac{2\pi x}{a}dx=-\frac{2a}{3\pi}$$
$$\int_0^asin\frac{2\pi x}{a}cos\frac{\pi x}{a}dx=\frac{4a}{3\pi}$$
$$\int_0^asin\frac{2\pi x}{a}cos\frac{2\pi x}{a}dx=0$$
$$\int_0^asin\frac{\pi x}{2a}sin\frac{\pi x}{a}dx=\frac{4\sqrt{2}a}{3\pi}$$

三角换元

$$\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^2}$$
令$$x=atan\theta;dx=asec^2\theta d\theta$$
带入积分即可

分部积分（表格法）

$\int_0^ae^{\frac{-ipx}{\hbar}}sin\frac{n\pi x}{a}dx=$

$\int_0^ae{\frac{-ipx}{\hbar}}sin\frac{n\pi x}{a}dx=+蓝色之积|_0^a-红色之积|_0^a+\int_0^a\frac{-p^2}{\hbar^2}e^{\frac{-ipx}{\hbar}}(-\frac{a^2}{n^2\pi^2}sin\frac{n\pi x}{a})dx$

积化和差(同同为余，同同为+，正+余-)

$$2sin\alpha sin\beta=cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)$$
$$2cos\alpha cos\beta=cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha+\beta)$$
$$2sin\alpha cos\beta=sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)$$
$$2cos\alpha sin\beta=sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)$$

高斯积分【点火公式】(注意积分上下限)

$$\int_0^{+\infty}x^ne^{-\alpha x}dx=\frac{n!}{\alpha^{n+1}}$$
$$\int_0^{+\infty}x^{2n}e^{-\alpha x^2}dx=\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}\alpha^{n}}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$$

对于二式$n$一般不会超过2:
$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$$
$$\int_{-\infty}^{+\infty}x^2e^{-\alpha x^2}dx=\frac{1}{2\alpha}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$$
$$\int_{-\infty}^{+\infty}x^4e^{-\alpha x^2}dx=\frac{3\sqrt{\pi}}{4\alpha^{\frac{5}{2}}}$$

广义高斯积分：
$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2+\beta x}dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{\frac{\beta^2}{4\alpha}}$$

矢量分析

球坐标系中：
$$
\left {
\begin{array}{l}
x=rsin\theta cos\varphi\quad\
y=rsin\theta sin\varphi\quad \
z=rcos\theta\quad
\end{array}
\right.
$$
$$\nabla=\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{1}{rsin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}$$
$$\nabla^2\frac{1}{r}=4\pi \delta(r)$$

近似展开（其中$x$为小量）

$$\sqrt{1+x}\approx 1+ \frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3-\cdot \cdot \cdot$$
$$(1+x)^{\alpha}\approx 1+\alpha x$$
$$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+…$$
$$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+…$$

张量积

$$
\begin{bmatrix}
{a}&{b}\
{c}&{d}\
\end{bmatrix} \otimes
\begin{bmatrix}
{e}&{f}\
{g}&{h}\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{ae}&{af}&{be}&{bf}\
{ag}&{ah}&{bg}&{bh}\
{ce}&{cf}&{de}&{df}\
{cg}&{ch}&{dg}&{dh}\
\end{bmatrix}
$$

一些函数的级数展开

$$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+…+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$
$$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+…+(-1)^{(n-1)}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$$

一些级数求和

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$
$$\sum_{n=1,3,5…}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$$

非数学部分：

概率流密度公式

$$j=-\frac{i\hbar}{2\mu}(\psi^\frac{d}{dx}\psi-\psi\frac{d}{dx}\psi^)$$

自由粒子动量表象与坐标表象的转换

$$\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(p)e^{\frac{ipx}{\hbar}}$$
$$\varphi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}\psi(x)e^{-\frac{ipx}{\hbar}}$$
$$\varphi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty}^{+\infty}\psi(x)e^{-\frac{ikx}{\hbar}}$$

B-H恒等式

$$e^{\hat{A}}\hat{B}e^{-\hat{A}}=\hat{B}+[\hat{A},\hat{B}]+\frac{1}{2!}[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]+\frac{1}{3!}[\hat{A},[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]]+\cdot \cdot \cdot$$

广义欧拉公式

$$e^{i\alpha \hat{\sigma_j}}=cos\alpha+i\sigma_j sin\alpha$$

海森堡运动方程

$$\frac{d<\hat{A}>_t}{dt}=\frac{1}{i\hbar}<[\hat{A},\hat{H}]>$$

F-H定理

$$\frac{\partial E_n}{\partial k}=<n|\frac{\partial \hat{H}}{\partial k}|n>$$

维里定理

$$=\frac{1}{2}<r\cdot\nabla V>$$

当势能是r的$\nu$次齐次函数时：
$$=\frac{\nu}{2}$$

一维无限深方势阱的定态波函数

$$\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}sin(\frac{n\pi x}{a})$$
$$E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2\mu a^2}$$

$V=-\alpha \delta(x) $的基态能量为

$$E=-\frac{\mu\alpha^2}{2 \hbar^2}$$

平面转子

$$[-\frac{\hbar^2}{2I}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}+V]\psi(\varphi)=E\psi(\varphi)$$
$$\psi=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}$$
$$m=0,\pm1,\pm2…$$
$$E=\frac{m^2\hbar^2}{2\mu r_0^2}$$

平面转子波函数的内积技巧

$$\psi=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}$$
$$<\psi_k|cos\varphi|\psi_m>=\frac{1}{2}(\delta_{k,m+1}+\delta_{k,m-1})$$

一维谐振子定态波函数

$$\psi_n(x)=N_ne^{-\alpha^2x^2/2}H_n(\alpha x)$$
$$\psi_0=\sqrt{\frac{\alpha}{\sqrt{\pi}}}e^{-\alpha^2x^2/2}$$
$$\alpha=\sqrt{\frac{\mu\omega}{\hbar}}$$
$$N_n=\sqrt{\frac{\alpha}{\sqrt{\pi}2^nn!}}$$
$$H_0(x)=1 ; H_1(x)=2x ; H_2(x)=4x^2-1 ; H_3(x)=8x^3-12x$$
且$\psi$的奇偶性质（宇称）与量子数$n$一致$(-1)^n$

一维谐振子升降算符与x和$\hat{p}$的表示方式

$$a_+=\frac{1}{\sqrt{2\hbar \mu \omega}}(\mu \omega x-i\hat{p})$$
$$a_-=\frac{1}{\sqrt{2\hbar \mu \omega}}(\mu \omega x+i\hat{p})$$
$$[a_-,a_+]=1;[a_+,a_-]=-1$$
$$x=\sqrt{\frac{\hbar}{2\mu \omega}}(a_++a_-)$$
$$\hat{p}=i\sqrt{\frac{\hbar \mu \omega}{2}}(a_+-a_-)$$
$$x|\psi_n>=\frac{1}{\alpha}(\sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi_{n+1}+\sqrt{\frac{n}{2}}\psi_{n-1})$$
$$x^2|\psi_n>=\frac{1}{2\alpha^2}[\sqrt{n(n-1)}\psi_{n-2}+(2n+1)\psi_{n}+\sqrt{(n+1)(n+2)}\psi_{n+2}]$$
$$\frac{d}{dx}|\psi_n>=\alpha(\sqrt{\frac{n}{2}}\psi_{n-1}-\sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi_{n+1})$$

角动量的表达形式

$$L_x=yp_z-zp_y$$
$$L_y=zp_x-xp_z$$
$$L_z=xp_y-yp_x$$
$$[L_{\alpha},p_{\beta}]=i\hbar \delta_{\alpha \beta \gamma}p_{\gamma}$$
$$[p_{\alpha},L_{\beta}]=i\hbar \delta_{\alpha \beta \gamma}p_{\gamma}$$

角动量升降阶算符

$$L_{+}=L_x+iL_y$$
$$L_{-}=L_x-iL_y$$
$$L_{x}=\frac{L_++L_-}{2}$$
$$L_{y}=\frac{L_+-L_-}{2i}$$
$$L_{\pm}Y_{lm}=\sqrt{l(l+1)-m(m\pm1)}hY_{lm\pm1}$$

$L_z$表象下$L_x与L_y$的矩阵形式

$$L_x=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
{0}&{1}&{0}\
{1}&{0}&{1}\
{0}&{1}&{0}\
\end{bmatrix}
$$
$$l_x=\hbar,\psi_+=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
{1}\
{\sqrt{2}}\
{1}\
\end{bmatrix};l_x=0,\psi_0=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
{1}\
{0}\
{-1}\
\end{bmatrix};l_x=-\hbar,\psi_-=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
{1}\
{-\sqrt{2}}\
{1}\
\end{bmatrix} $$
$$L_y=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
{0}&{-i}&{0}\
{i}&{0}&{-i}\
{0}&{i}&{0}\
\end{bmatrix}
$$
$$l_y=\hbar,\psi_+=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
{1}\
{\sqrt{2}i}\
{-1}\
\end{bmatrix};l_y=0,\psi_0=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
{1}\
{0}\
{1}\
\end{bmatrix};l_y=-\hbar,\psi_-=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
{1}\
{-\sqrt{2}i}\
{-1}\
\end{bmatrix} $$

$<L^2>$$<L_z^2>$与$<L_x^2><L_y^2>$的关系

$$<L_x^2>=<L_y^2>=\frac{<L^2>-<L_z^2>}{2}$$

三维中心力场径向薛定谔方程

$$令\psi(r)=R(r)Y_{lm}$$
$$令R(r)=\frac{u(r)}{r}$$
$$则-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2u(r)}{dr^2}+[\frac{l(l+1)\hbar^2}{2\mu r^2}+V(r)]u(r)=Eu(r)$$
$$且有u(0)=u(+\infty)=0$$

径向波函数

$$R_{10}=\frac{2}{a^{\frac{3}{2}}}e^{-\frac{r}{a}}$$
$$R_{20}=\frac{1}{\sqrt{2}a^{\frac{3}{2}}}(1-\frac{r}{2a})e^{-\frac{r}{2a}}$$
$$R_{21}=\frac{1}{2\sqrt{6}a^{\frac{3}{2}}}\frac{r}{a}e^{-\frac{r}{2a}}$$

球谐函数递推公式

$$cos\theta Y_{lm}=a_{l,m}Y_{l+1m}+a_{l-1,m}Y_{l-1,m}$$
$$sin\theta e^{i\varphi}Y_{lm}=b_{l-1,-(m+1)}Y_{l-1m+1}-b_{l,m}Y_{l+1m+1}$$
$$sin\theta e^{-i\varphi}Y_{lm}=-b_{l-1,m-1}Y_{l-1m-1}+b_{l,-m}Y_{l+1m-1}$$
$$a_{lm}=\sqrt{\frac{(l+1)^2-m^2}{(2l+1)(2l+3)}}$$
$$b_{lm}=\sqrt{\frac{(l+m+1)(l+m+2)}{(2l+1)(2l+3)}}$$

在坐标空间中$L_z$算符的表示以及本征函数

$$L_z=-ih\frac{\partial}{\partial \varphi}$$
$$\psi=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}$$

氢原子

氢原子(或中心势场)哈密顿量：$$\hat{H}=\frac{\hat{p_r}}{2\mu}+\frac{\hat{L}^2}{2\mu r^2}+V(r)$$
氢原子势能：$$V=-\frac{e^2}{r}$$
氢原子定态能量：$$E_n=-\frac{e^2}{2an^2}=\frac{E_1}{n^2}$$
$$E_1=-13.6ev；a=\frac{\hbar^2}{\mu e^2}\approx 0.529\times 10^{-10}m(第一波尔半径)$$
氢原子基态波函数：$$\psi_{100}=\sqrt{\frac{1}{\pi a^3}}e^{\frac{-r}{a}}$$
类氢原子势能：$$V=-\frac{Ze^2}{r}$$
类氢原子定态能量：$$E_n=-\frac{Z^2e^2}{2an^2}=\frac{Z^2E_1}{n^2}$$
$$其中n=n_r+l+1$$
类氢原子基态波函数：$$\psi_0=\sqrt{\frac{Z^3}{\pi a^3}}e^{-\frac{Zr}{a}}$$

对于二式$n$一般不会超过2:
$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$$
$$\int_{-\infty}^{+\infty}x^2e^{-\alpha x^2}dx=\frac{1}{2\alpha}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$$

磁场中哈密顿量附加项

磁偶极子在磁场中的能量:

$$W=-\vec{M}\cdot \vec{B}$$
电子轨道磁矩：

$$\vec{M}_l=g_l\frac{-e}{2\mu c}\hat{L}$$

综上：

$$\hat{H^{‘}}=\frac{eB}{2\mu c}\hat{L_z}$$

电磁场规范

对称规范:
$$\vec{A}=(-\frac{1}{2}B_0y,\frac{1}{2}B_0x,0)$$

非对称规范:
$$\vec{A}=(-B_0y,0,0)或\vec{A}=(0,B_0x,0)$$

带点粒子在电磁场中的哈密顿量

$$\hat{H}=\frac{(\hat{p}-q\vec{A})^2}{2\mu}+q\varphi=\frac{(-i\hbar \nabla-q\vec{A})^2}{2\mu}+q\varphi$$
$$在Gauss单位制中\hat{H}=\frac{(-i\hbar \nabla-\frac{q}{c}\vec{A})^2}{2\mu}+q\varphi$$

非简并态微扰

一阶近似能量:$$E_n^1=<n^0|H^{‘}|n^0>$$
一阶近似态势:$$|n^1>=\sum_{m \neq n}\frac{<m^0|H^{‘}|n^0>}{E_{n}^{0}-E_{m}^{0}}|m^0>$$
二阶近似能量:$$E_n^2=\sum_{m \neq n}\frac{|<m^0|H^{‘}|n^0>|^2}{E_{n}^{0}-E_{m}^{0}}$$
三阶近似能量:$$E_n^3=\sum_{m,m^{‘}\neq n}\frac{<m^0|H^{‘}|n^0><m^0|H^{‘}|m^{‘0}><m^{‘0}|H^{‘}|n^{0}>}{(E_{n}^{0}-E_{m}^{0})(E_{n}^{0}-E_{m^{‘}}^{0})}$$
$$-\sum_{m\neq n}\frac{<n^{0}|H^{‘}|n^0>|<m^0|H^{‘}|n^0>|^2}{(E_{n}^{0}-E_{m}^{0})^2}$$

简并态微扰

二阶能量修正方程矩阵元：$$G_{ij}=\sum_{l^{‘}m^{‘}\neq lm_i}\frac{H_{(lm_i)(l^{‘}m^{‘})}^{‘}H_{(l^{‘}m^{‘})(lm_j)}^{‘}}{E_l^0-E_{l^{‘}}^{0}}$$

跃迁(含时微扰)

含时微扰跃迁概率：
$$W_{n\to m}(t)=\frac{1}{\hbar^2}|\int_0^tH^{‘}{mn}(t)e^{i\omega{mn}t}dt|^2$$
$$\omega_{mn}=\frac{E_m-E_n}{\hbar}$$
强度为$I(\omega)$的连续光照射原子发生从$\psi_n$到$\psi_m$的跃迁速率为
$$w_{n\to m}=\frac{4\pi^2e^2}{3\hbar^2}I(|\omega_{mn}|)|r_{mn}|^2$$

泡利矩阵（在$S_z$表象中）

$$\sigma_x=
\begin{bmatrix}
{0}&{1}\
{1}&{0}\
\end{bmatrix}
$$

$$\sigma_y=
\begin{bmatrix}
{0}&{-i}\
{i}&{0}\
\end{bmatrix}
$$

$$\sigma_z=
\begin{bmatrix}
{1}&{0}\
{0}&{-1}\
\end{bmatrix}
$$

$$[\sigma_i,\sigma_j]=2i\varepsilon_{ij}\sigma_k$$
$$\sigma \times \sigma=2i\sigma$$

$$\sigma_x|\uparrow⟩=|\downarrow⟩$$
$$\sigma_x|\downarrow⟩=|\uparrow⟩$$
$$\sigma_y|\uparrow⟩=i|\downarrow⟩$$
$$\sigma_y|\downarrow⟩=-i|\uparrow⟩$$

$S_x$的本征态与本征矢
$$S_x=\frac{\hbar}{2};|\psi_1>=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
{1}\
{1}\
\end{bmatrix}$$
$$S_x=-\frac{\hbar}{2};|\psi_1>=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
{1}\
{-1}\
\end{bmatrix}$$

$S_y$的本征态与本征矢
$$S_y=\frac{\hbar}{2};|\psi_1>=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
{1}\
{i}\
\end{bmatrix}$$
$$S_y=-\frac{\hbar}{2};|\psi_1>=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
{1}\
{-i}\
\end{bmatrix}$$

相对论修正

$$E\approx\mu c^2+\frac{p^2}{2\mu}-\frac{p^4}{8\mu^3c^2}$$

自旋角动量在任意方向的投影

$$|n_+>=
\begin{bmatrix}
{cos\frac{\theta}{2}e^{-i\frac{\varphi}{2}}}\
{sin\frac{\theta}{2}e^{i\frac{\varphi}{2}}}\
\end{bmatrix} $$

$$|n_->=
\begin{bmatrix}
{-sin\frac{\theta}{2}e^{-i\frac{\varphi}{2}}}\
{cos\frac{\theta}{2}e^{i\frac{\varphi}{2}}}\
\end{bmatrix} $$

电子自旋磁矩

$$M_s=\frac{-e}{2\mu c}g_s\cdot S$$
$$g_s=2$$

台阶势的反射率与透射系率

$$R=\frac{(k^2-\alpha)^2}{(k+\alpha)^2}$$
$$T=\frac{4k\alpha}{(k+\alpha)^2}$$

方势垒的反射率与透射系率

透射系数：
$$B=\frac{(k^2-\alpha^2)sin(\alpha a)}{(k^2+\alpha^2)sin(\alpha a)+i2k\alpha cos\alpha a}$$
$$R=\frac{(k^2-\alpha^2)^2sin^2(\alpha a)}{(k^2-\alpha^2)^2sin^2(\alpha a)+4k^2\alpha^2}$$
当$\alpha \approx 0时$
$$R\approx\frac{k^2a^2}{k^2a^2+4}$$
$$T=\frac{4k\alpha^2}{(k^2-\alpha^2)^2sin^2(\alpha a)+4k^2\alpha^2}$$

$L\cdot S$耦合本征函数与$S_z$本征函数的关系

$$|l,s,j=l+\frac{1}{2},m_j>=\sqrt{\frac{l+m_j+\frac{1}{2}}{2l+1}}|l,m_j-\frac{1}{2}>|\uparrow>+\sqrt{\frac{l-m_j+\frac{1}{2}}{2l+1}}|l,m_j+\frac{1}{2}>|\downarrow>$$

$$|l,s,j=l-\frac{1}{2},m_j>=-\sqrt{\frac{l-m_j+\frac{1}{2}}{2l+1}}|l,m_j-\frac{1}{2}>|\uparrow>+\sqrt{\frac{l+m_j+\frac{1}{2}}{2l+1}}|l,m_j+\frac{1}{2}>|\downarrow>$$

全同粒子

交换两个粒子不会改变系统的状态
全同粒子体系的完整波函数要么是交换对称的要么是交换反对称的
玻色子（交换对称 ）：
$$自旋为0或为\hbar的整数倍$$
$$由其组成的全同粒子体系波函数是对称的$$
$$服从玻色—爱因斯坦统计$$

费米子（交换反对称 ）：
自旋为半整数的粒子

密度矩阵

当密度矩阵为纯态时
$$\rho(0)=|\psi_n><\psi_n|$$
那么概率的计算可替换为(本征值取-的算法也同下)
$$p=|<+|\psi_n>|^2=<+|\rho(0)|+>$$

高能散射的波恩近似公式

$$f(\theta,\varphi)=-\frac{\mu}{2\pi \hbar^2}\int e^{-iq\cdot r^{‘}}V(r^{‘})d\tau^{‘}$$
$$\sigma(\theta,\varphi)=\frac{\mu^2}{4\pi^2 \hbar^4}|\int e^{-iq\cdot r^{‘}}V(r^{‘})d\tau^{‘}|^2$$
$$q=k-k_0,q=2ksin\frac{\theta}{2}$$

对于中心力场$V(r)$
$$f(\theta)=-\frac{2\mu}{q \hbar^2}\int_0^{+\infty} rV(r)sinqrdr$$
$$\sigma(\theta)=\frac{4\mu^2}{q^2 \hbar^4}|\int_0^{+\infty} rV(r)sinqrdr|^2$$